优化是应用数学的一个分支，也是机器学习的核心组成部分。实际上，机器学习算法 = 模型表征 + 模型评估 + 模型优化。其中，模型优化所做的事情就是在模型表征空间（假设空间）中找到模型评估指标最好的模型。需要注意的是不同的优化算法对应的模型表征和评估指标不尽相同。

先前，我很纠结是把损失函数放在模型评估中，还是放在模型优化这一篇博客中。准确地说，损失函数是用来作为模型评估的标准，不同的模型有不同的损失函数，例如逻辑回归使用交叉熵损失函数，线性回归使用均方误差损失函数。我们统计模型的损失，从而评估模型的优劣。因此，损失函数放到模型评估中是顺理成章的事情。但是，损失函数在模型优化中同样起到非常重要的作用。

很少有模型从一开始就是完美的，我们需要不断地优化模型，让模型逐渐达到理论最优值，而我们优化的目标就是损失函数——让损失函数达到最小值。从这角度来讲，将损失函数放到模型优化中似乎也非常有道理，因此我最终还是将损失函数放到模型优化这一篇博客中。

在本篇博客中除了讲述损失函数外，还包括机器学习中经典的优化算法、模型调参等相关知识，内容主要来源于博主阅读的书籍以及博主的个人领悟，若有偏驳之处，还望指出。

不严谨地讲，凸优化是指在标准优化问题的范畴内，要求目标函数和约束函数是凸函数的一类优化问题。凸优化是一个很广且复杂的领域，在此仅仅只作简单的介绍。

在介绍凸优化前需要先弄明白什么是凸函数。国内外教材关于凸函数和凹函数的定义不同，在查阅资料时需要细心区别。凸函数的严格定义为：函数 L 是凸函数，当且仅当对定义域中的任意两点 x, y 和任意实数 $\lambda \in [0,1]$ 总有
$$L(\lambda x+(1?\lambda )y)\le \lambda L(x)+(1?\lambda )L(y)$$
该不等式的一个直观解释是，凸函数曲面上任意两点连接而成的线段，上面任意一点都不会处于该函数曲面的下方，见下图。

那么如何判断一个函数是凸函数呢？最简单的方法是判断当前函数的二阶导数 f’’ 是否大于等于 0，若 $f^{\prime \prime }\ge 0$ 则 f 是凸函数，当且仅当 $f^{\prime \prime }>0$，f 是严格凸函数。

后面要讲的平方误差损失函数 $L(f,y)=(f?y{)}^2$ 就是一个严格凸函数，我们将其展开 $f^2?2fy+y^2$，对 f 求二次导数，最终可得 2，2 > 0，因此平方误差损失函数是一个严格凸函数。

除了借助原函数的二阶导数外，另外一种方法是判断目标函数的二阶 Hessian 矩阵来验证凸性。那么问题来了，怎么求目标函数的二阶 Hessian 矩阵？如何通过二阶 Hessian 矩阵来判断凸性？

• 目标函数的二阶 Hessian 矩阵可通过对目标函数的二阶求导获得，令二阶 Hessian 矩阵为 H。
• 如果 Hessian 矩阵满足半正定的性质 ${\sum }_{i=1}^n{H}_i\ge 0$（半正定矩阵的行列式非负），函数为凸函数。

对比这两种方法，可以发现第一种方法针对实数 X，而第二种方法针对向量 X。关于半正定矩阵的内容可以参考这篇文章 浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」

根据凸优化的不严谨定义，我们知道凸优化处理的目标函数和约束函数是凸函数，而凸函数的局部极小值都是全局最小值，因此我们在对凸函数求导时，求得的极值都是全局最小值。那么什么是局部极小，什么是全局最小？

在模型优化过程中我们时常会谈到两种“最优”：局部极小（local minimum）和全部最小（global minimum），令 E 表示模型在训练集上的误差，模型的训练过程可看作一个参数寻优过程，即在参数空间中寻找一组最优参数使得 E 最小。

• 局部极小点：参数空间内梯度为零的点，只要其误差函数值小于邻点的误差函数值，就是局部极小点。局部极小点可以有多个。
• 全局最小点：局部极小点中误差函数值最小的点，即为全局最小点。全局最小点只有一个。

借用下《机器学习》的图，若构成侵权则立即删除。

全局最小点一定是局部极小点，但局部极小点不一定是全局最小点。

那么我们如何找到局部极小点，以及找到全局最小点呢？

【梯度下降算法】：传送门

【随机梯度下降算法】：施工中

损失函数（loss function）用来估量模型预测值与真实值之间的匹配程度，它是一个非负实值函数。损失函数越小，模型的性能以及鲁棒性就越好。

【表示方式】：通常，我们用大写的 L 来表示样本的损失函数。
$$L(y,f(x))$$

损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。那么什么是经验风险函数？结构风险函数又是什么呢？要阐明经验风险函数以及结构风险函数前，得先介绍风险函数（期望损失）。

我们知道模型的输入、输出 (X, Y) 是随机变量，遵循联合分布 P(X, Y)。例如 X 为年龄， Y 为身高，一般来说身高随着年龄的变化呈现正态分布。令 $R_{exp}(f)$ 表示损失函数的期望，则期望的表达式如下：
$$R_{exp}(f)=E_p[L(Y,f(X))]={\int }_{x\times y}L(y,f(x))P(x,y)dxdy$$
这是理论上模型 f(X) 关于联合分布 P(X, Y) 平均意义下的损失，称为风险函数（risk function）或期望损失（expected loss）。

但是通常情况下，实际与理论存在差异：很少有数据集完美地符合理论上的分布，或多或少都会存在噪声、异常值，使得数据集与理论的分布存在一定的偏移。而这种非理论的，我们一般称之为经验，所以基于实际数据集的损失函数被称为经验风险函数，用于区分风险函数。下面，我们再用正规的数学语言来定义经验风险函数。

一般地，给定一个训练数据集
$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_N,y_N)\}$$
模型 f(X) 关于训练数据集的平均损失称为经验风险（empirical risk）或经验损失（empirical loss），记作 $R_{exp}$，而 f(X) 本身则被称为经验风险函数。
$$R_{emp}(f)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))$$

期望风险 $R_{exp}(f)$ 是模型关于联合分布的期望损失，经验风险 $R_{emp}(f)$ 是模型关于训练样本集的平均损失。根据大数定律，当样本容量 N 趋于无穷时，经验风险 $R_{emp}(f)$ 趋于期望风险 $R_{exp}(f)$。这也是机器学习所需数据量大的原因之一，数据量越大，则噪声对于整体的影响就会小很多，从而使得训练数据集尽可能贴合真实的数据分布情况。

但需要注意的是，经验风险能取得效果的前提是数据量足够大，如果此时的数据量不够大，那么会发生什么？试想这样一种情形，假设某个数据集符合正态分布，你从该数据集中获取到了一部分数据，而这部分数据恰好都处于正态分布的一侧，然后你用这部分数据去训练模型，接着用剩余的数据集来做测试，最终发现错误率非常高。

原因也非常简单，因为数据量过小，且这部分数据不具有代表性，不能代表整个数据集。此外，数据量过小还会导致模型过度拟合，产生过拟合现象，这怎么理解呢？比如 A 告诉你喝酒是不对的，因为只有 A 告诉过你，所以你很相信 A 说的话，一直认为喝酒是不对的（模型拟合得太好了）。之后你遇到了 B，B 告诉你喝酒可以消愁，是正确的事情，那么你就会开始犹豫，到底喝酒是正确还是不正确？最后你得出了一个结论，视情况而定，在不同的情境下得到的答案也不同。模型训练的过程也是如此，如果数据量过小，模型掌握的知识不够多就有很大概率做出错误的决策。当数据量增加时，模型掌握的知识也越丰富，那么做出正确决策的概率也会随之增加。

正是基于上述原因，为了防止过拟合，结构风险（structural risk）应运而生，在经验风险上加上表示模型复杂度的正则化项（regularizer）或罚项（penalty term）。
$$R_{srm}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i;\theta )+\lambda J(f))$$
其中，J(f) 表示模型的复杂度。模型 f 越复杂，复杂度 J(f) 就越大；反之，模型 f 越简单，复杂度 J(f) 就越小。也就是说，复杂度表示了对模型的惩罚。$\lambda \ge 0$ 是系数，用以权衡经验风险和模型复杂度。

此时我们的任务就转变为：在保证经验风险足够小的同时也确保结构风险足够小。假如有两个模型 A 和 B，它们的经验风险相差不大 A 略小于 B，但 A 的结构风险远大于 B，此时我们应选择 B 而非 A。奥卡姆剃刀原理也可以说明这一点。

有监督学习的损失函数

在有监督学习中，损失函数刻画了模型和训练样本的匹配程度。假设训练样本的形式为 $(x_i,y_i)$，其中 $x_i\in X$ 表示第 i 个样本点的特征，$y_i\in Y$ 表示该样本点的标签，f 表示 $x_i$ 经过模型后的输出。$L(f,y_i)$ 表示当前样本的损失值，L 越小，表明模型在该样本点匹配得越好。

分类问题

以二分类问题为例，Y = {1, -1}，因此 fy > 0 表示分类正确，fy < 0 表示分类错误。

【0-1 损失函数】：$signf(x_i,\theta )=y_i$。
$$L_{0?1}(f,y)=1_{fy\le 0}=\{\begin{array}{l}1,y?=f(x)\\ 0,y=f(x)\end{array}$$
其中 $1_p$ 是指示函数（Indicator Function），当且仅当 P 为真时取值为 1，否则取值为 0。在上述式子中，fy < 0 为真，表示分类错误取值为 1。假设总共有 100 个样本，其中 5 个样本分类错误，那么损失函数的最终取值为 5。

该损失函数能够直观地刻画分类的错误率，但是由于其非凸、非光滑的特点，使得该算法很难直接对该函数进行优化。

【合页（Hinge）损失函数】：
$$L_{hinge}(f,y)=max\{0,1?fy\}.$$
Hinge 损失函数是 0-1 损失函数相对紧的凸上界，且当 fy ≥ 1 时，该函数不对其做任何惩罚。Hinge 损失在 fy=1 处不可导，因此不能用梯度下降法进行优化，而是用次梯度下降法（Subgradient Descent Method）。

【Logistic 损失函数】：
$$L_{logistic}(f,y)=lo{g}_2(1+exp(?fy)).$$
Logistic 损失函数也是 0-1 损失函数的凸上界，且该函数处处光滑，因此可以用梯度下降法进行优化。但是，该损失函数对所有的样本点都有所惩罚，因此对异常值相对更敏感一些。

【交叉熵（Cross Entropy）损失函数】：当预测值 $f\in [?1,1]$ 时。
$$L_{crossentropy}(f,y)=?lo{g}_2(\frac{1+fy}{2}).$$
交叉熵损失函数也是 0-1 损失函数的光滑凸上界。

回归问题

【平方损失函数】：光滑函数，能够用梯度下降发进行优化。但当预测值距离真实值越远时，平方损失函数的惩罚力度越大，因此对异常点比较敏感。
$$L_{square}(f,y)=(f?y{)}^2$$

【绝对损失函数】：对异常点更鲁棒一些，但是，在 f = y 处无法求导数。
$$L_{absolute}(f,y)=|f?y|$$

【Huber 损失函数】：综合考虑可导性和对异常点的鲁棒性。在 |f - y| 较小时为平方损失，在 |f - y| 较大时为线性损失，处处可导且对异常点鲁棒。
$$L_{Huber}(f,y)=\{\begin{array}{l}(f?y{)}^2,|f?y|\le \delta \\ 2\delta |f?y|?{\delta }^2,|f?y|>\delta \end{array}$$

大多数学习算法都有参数需要设定，参数配置不同，学得模型的性能往往有显著差别，这就是通常所说的“参数调节”或简称“调参”（parameter tuning）。

模型调参和模型选择没什么本质区别：对每种参数配置都训练出模型，然后把对应最好模型的参数作为结果。这里的参数与前面所讲的参数有所不同，无法在训练过程中调整，需要用户手动去设置，这一类参数我们称之为“超参数”。

模型调参主要针对超参数进行调整，最终达到的效果是——模型在训练集上的准确性以及防止过拟合能力的大和谐，简单地说就是协调模型的偏差和方差。

网格搜索

通过查找搜索范围内的所有的点（超参数组合，超参数的笛卡尔积）来确定最优值。假设现在有三个参数年龄、性别、是否有工作：

• 年龄：低、中、高；
• 性别：男、女；
• 是否有工作：是、否；

最终所有的参数组合如下表所示：

序号	年龄	性别	是否有工作	序号	年龄	性别	是否有工作
1	低	男	是	7	中	女	是
2	低	男	否	8	中	女	否
3	低	女	是	9	高	男	是
4	低	女	否	10	高	男	否
5	中	男	是	11	高	女	是
6	中	男	否	12	高	女	否

可以看到参数组合的个数 = 年龄的取值个数 x 性别的取值个数 x 是否有工作的取值个数 = 3 x 2 x 2 = 12。如果参数的个数有 10 个，且每个参数的取值个数都为 10，那么最终参数组合个数为 10 的 10 次方。虽然网格搜索法可以找到最优的参数组合，但十分消耗计算资源和时间，特别是需要调优的超参数比较多或参数的取值个数较多。一般来说，当超参数少于四个且取值不多时，可以考虑使用网格搜索法。

【改进方案】：在实际应用中，一般会先使用较广的搜索范围和较大的步长，来寻找全局最优值可能的位置；然后逐渐缩小搜索范围和步长，来寻找更精确的最优值。

• 优点：这种方法可以降低所需的时间和计算量。
• 缺点：由于目标函数一般是非凸的，所以很可能会错过全局最优值。

我们可以使用 scikit-learn 中的 GridSearchCV 来实现对参数的评估，从而找到最优参数。

• 首先，由用户列出一个较小的超参数值域，这些超参数值域的笛卡尔集（排列组合）为一组组超参数。
• 网格搜索算法使用每组超参数训练模型，并挑选验证集误差最小的超参数组合。

关于 GridSearchCV 的更多内容请参考官方文档 传送门

【代码实现】：使用 GridSearchCV 来寻找 AdaBoost 算法的超参数。

上述案例获得的最佳参数组合恰好位于参数组合列表的边界，因此很有可能不是全局最优值，需要再做一次搜索。

最终得出最佳参数组合：{‘learning_rate’: 1, ‘n_estimators’: 50}

随机搜索

不再查搜索范围内的所有参数组合，而是在搜索范围中随机选取参数组合。具体地，随机搜索法通过固定次数的迭代（用户设定），采用随机采样分布的方式搜索合适的参数。相比网格搜索，随机搜索计算开销更小，执行速度更快，但因为是随机采样，不能保证恰好就采样到全局最优值，因此结果无法得到保证。

为什么随机搜索法的结果无法得到保证，却仍然具有应用价值呢？它的理论依据是什么？

【理论依据】：样本点集足够大，通过随机采样也能大概率地找到全局最优值，或其近似值。

我们可以使用 scikit-learn 中的 RandomizedSearchCV 类实现。关于 RandomizedSearchCV 的更多内容请参考官方文档 传送门

【代码实现】：使用 RandomizedSearchCV 来寻找 AdaBoost 算法的超参数。

通过上述代码可以看到，随机搜索法每次获得的结果都不同，且很有可能距离全局最优值很远，因此我们需要多尝试几次，最终确定全局最优值的位置。

无论是网格搜索法还是随机搜索法，都需要用户先写出参数列表，然而学习算法的很多参数都是在实数范围内取值，那么如何确定参数列表本身也成为了一个难题。

【做法 1】：对每个参数选定一个范围和变化步长，例如在先前代码示例中的 learning_rate 参数，它的取值范围在 [0, 1] 范围内。我们可以把 0.1 为步长，待评估的候选参数值设置为 5 个，则最终是从这 5 个候选值中产生选定值，即 [1, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6]。

【做法 2】：SciPy 提供 uniform 函数，可以用于均匀随机采样，默认生成 0 与 1 之间的随机采样数值。对于 learning_rate 这一类的参数就非常使用。

贝叶斯优化

网格搜索和随机搜索在测试一个新点时，会忽略前一个点的信息；而贝叶斯优化算法则充分利用了之前的信息。贝叶斯优化算法通过对目标函数形状进行学习，找到使目标函数向全局最优值提升的参数。

具体来说，它学习目标函数形状的方法是：

1. 首先根据先验分布，假设一个搜集函数；
2. 然后，每一次使用新的采样点来测试目标函数时，利用这个信息来更新目标函数的先验分布；
3. 最后，算法测试由后验分布给出的全局最值最可能出现的位置的点。

对于贝叶斯优化算法，有一个需要注意的地方，一旦找到了一个局部最优值，它会在该区域不断采样，所以很容易陷入局部最优值。为了弥补这个缺陷，贝叶斯优化算法会在探索和利用之间找到一个平衡点，“探索”就是在还未取样的区域获取采样点；而“利用”则是根据后验分布在最可能出现全局最值的区域进行采样。

关于贝叶斯优化更多的内容可以阅读这两篇文章：

• 贝叶斯优化 BayesianOptimization
• 拟合目标函数后验分布的调参利器-贝叶斯优化

最后，在谈谈网格搜索法、随机搜索法和贝叶斯优化三者的区别。假设现在有三个炼金术士 A、B、C，他们在探索古迹的时候找到了一篇记录如何炼制长生不老丹的书籍，里面记录了炼制的药材，但却遗漏了每份药材添加的量。这三位炼金术士耗费数年时间收集了大量的药材，于今日准备开始炼制长生不老丹。

• A 列出所有药材的所有排列组合，准备一一尝试。
• B 随机选择药材的量，希望能够撞大运炼制出不老丹。
• C 先随机选择药材的量，然后根据每次炼制后的结果进行反思。在放入5 克枸杞和当归后，炼丹炉没有发生爆炸，C 眼睛一亮，似乎 5克枸杞和当归是正确的配比，枸杞和当归的量即可固定下来，在后续的试验中可以考虑其他药材的配比。

A、B、C 的做法正好对应了网格搜索、随机搜索以及贝叶斯优化三种超参数优化方案。

• 《统计学习方法》李航
• 《百面机器学习》
• 奥卡姆剃刀原理：https://www.jianshu.com/p/533d01beb528
• 凸优化：https://www.jianshu.com/p/fe2e7f0e89e5
• 浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」：https://zhuanlan.zhihu.com/p/44860862